注：称一个群G是有限生成的，是指，存在G的一个有穷子集A，使得由A生成的子群<A>=G。（“由A生成的子群”是指G的最小的包含A的子群）。
“有限生成”的一个等价定义是：G有一个有穷子集A，使得G中每个元素都能由A中元素的经有限次运算得到。即，对任何g∈G，存在a_1,a_2,...,a_k∈A（a_i与a_j未必互异），使得g=a_1*a_2*...*a_k。

G一定是有限群。

证: 如果G不是有限群，任取若m个元素，由这m个元素进行运算得到一个元素属于G，这样在G中必然存在这样n个元素，由这n个元素经过某种次序的运算后得到的结果，与当m无限大时m个元素经过某种次序的运算相同。

事实上，人们对所有的“有限生成的Abel群”的结构是很清楚的。
“所有有限生成的Abel群”构成的集合可以这样刻画：
1、整数加群<Z,+>是“有限生成的Abel群”；
2、对任意正整数n，模n加群<Z_n,+_n>是“有限生成的Abel群”；
3、任意有限多个“有限生成的Abel群”的直和仍是“有限生成的Abel群”。
4、（在同构意义下）所有的“有限生成的Abel群”都可以经有限次使用上述3条规则而得到。

由此易见，不存在“有限生成的、所有元素皆为有限阶的无限Abel群”。

所以如果要证明或否定原命题的话，只需要考虑非交换群就可以了。

以下是引用九九在2007-12-11 19:12:00的发言： 这样讲的话 自然数 就是一个由1有限生成的群了。 他每个数都是有限大的数，也就都可以由1经有限次运算表示出来了！

以下是引用buddha在2007-12-12 12:50:00的发言： 参考课后题17.23的解法，请指教。。。 首先，如果群G中每个元素都是有限阶的，则G不含无限阶子群。 那么，任取a1属于G，则<a1>是群G的一个有限子群，令G2=G-<a1>，则G2仍然是无穷集合，再任取a2属于G2，则<a2>仍然是G的一个有限子群，且<a2>!=<a1>,继续令G3=G2-<a2>，G3仍然是一个无穷集合……继续进行下去，那么G至少可以被分解为无穷个不相同的循环群，分别为<a1>,<a2>,<a3>……对应无穷个不同的生成元a1,a2,a3…… 若群G为有限生成的，那么G有一个有穷子集A，使得G中每个元素都能由A中元素的经有限次运算得到。但由上面的论述可知，A至少要包含所有不同循环群的生成元，这与A是有穷集合矛盾。 因此，G一定为有限群。

这个结论和我们要证的东西是不一样的。
注意到，你考虑的<a_1>∪<a_2>∪……∪<a_n>中的元素全都是“(a_i)^k”这样的形式。
而没有考虑“a_1*a_2*a_1*a_3*a_1*a_1”这样的东西。
而如果令A={a_1,a_2,……,a_n}，那么<A>是包括上面这种形式的元素的。
所以，<A>很可能远大于<a_1>∪<a_2>∪……∪<a_n>。
你的证明不能否定这样的A的存在性，即，不能排除“虽然A中只有有穷个元素，且每个元素都是有穷阶，但它们却可以通过有穷多次乘积乘出无穷种不同的元素来”的可能性。

以下是引用buddha在2007-12-12 12:50:00的发言： 参考课后题17.23的解法，请指教。。。 首先，如果群G中每个元素都是有限阶的，则G不含无限阶子群。 那么，任取a1属于G，则<a1>是群G的一个有限子群，令G2=G-<a1>，则G2仍然是无穷集合，再任取a2属于G2，则<a2>仍然是G的一个有限子群，且<a2>!=<a1>,继续令G3=G2-<a2>，G3仍然是一个无穷集合……继续进行下去，那么G至少可以被分解为无穷个不相同的循环群，分别为<a1>,<a2>,<a3>……对应无穷个不同的生成元a1,a2,a3…… 若群G为有限生成的，那么G有一个有穷子集A，使得G中每个元素都能由A中元素的经有限次运算得到。但由上面的论述可知，A至少要包含所有不同循环群的生成元，这与A是有穷集合矛盾。 因此，G一定为有限群。

举上面这个例子是要说明：从“A中只有有限个元素”和“每个元素都是有限阶”并不能轻易地推出“A生成的子群必然是有限群”。

以下是引用buddha在2007-12-12 12:50:00的发言： 参考课后题17.23的解法，请指教。。。 首先，如果群G中每个元素都是有限阶的，则G不含无限阶子群。 那么，任取a1属于G，则<a1>是群G的一个有限子群，令G2=G-<a1>，则G2仍然是无穷集合，再任取a2属于G2，则<a2>仍然是G的一个有限子群，且<a2>!=<a1>,继续令G3=G2-<a2>，G3仍然是一个无穷集合……继续进行下去，那么G至少可以被分解为无穷个不相同的循环群，分别为<a1>,<a2>,<a3>……对应无穷个不同的生成元a1,a2,a3…… 若群G为有限生成的，那么G有一个有穷子集A，使得G中每个元素都能由A中元素的经有限次运算得到。但由上面的论述可知，A至少要包含所有不同循环群的生成元，这与A是有穷集合矛盾。 因此，G一定为有限群。