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----  问一个有关同态的小问题  (http://bbs.xml.org.cn/dispbbs.asp?boardid=67&rootid=&id=56473)

--  作者：EagleSoaring
--  发布时间：12/7/2007 12:49:00 AM

--  问一个有关同态的小问题
同态映射可以把一个代数系统的零元运算映射到另一个代数系统的零元运算，

假定f 是V1 到 V2的同态，那么f 一定把V1的单位元映射到V2的单位元吗？
可不可以映射到V2中的别的零元运算？

--  作者：Logician
--  发布时间：12/7/2007 2:06:00 AM

--  
如果已经把单位元“声明”成“零元运算”了，自然就不行了
因为如果 V1 = <S, *, e1>, V2 = <T, ·, e2>
那么同态φ应该把运算e1映射到e2上
即，φ(e1) = e2

如果没有把单位元声明零元运算，那么是比较容易找到许多使φ(e1)不等于e2的例子的。

--  作者：EagleSoaring
--  发布时间：12/7/2007 3:44:00 AM

--  
以下是引用Logician在2007-12-7 2:06:00的发言：
如果已经把单位元“声明”成“零元运算”了，自然就不行了
因为如果 V1 = <S, *, e1>, V2 = <T, ·, e2>
那么同态φ应该把运算e1映射到e2上
即，φ(e1) = e2

如果没有把单位元声明零元运算，那么是比较容易找到许多使φ(e1)不等于e2的例子的。



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即使已经把单位元“声明”成“零元运算”，φ不是满同态时φ(e1)不一定等于e2
p232例15.23就是个反例。

我现在觉得，e1是否映射到e2完全由φ的定义决定。


--  作者：Logician
--  发布时间：12/7/2007 5:10:00 AM

--  
我认为根据零元运算的定义，如果φ(e1)不等于e2，φ就不是同态。
--  作者：Logician
--  发布时间：12/7/2007 5:36:00 AM

--  
这个问题的解释你可以看一看北大离散课的PPT
刘田从公理的角度解释"零元运算".
--  作者：datoubaicai
--  发布时间：12/7/2007 9:40:00 AM

--  
如果给定的两个代数系统是V1 = <S, *, e1>, V2 = <T, ·, e2>，必然有φ(e1) = e2，因为这里只有一个零元运算，单位元。
但如果代数系统是书中P232页，定理15.8那样的，φ不是满同态，φ(e1) 就不一定等于e2.
φ(e1)等于多少由代数系统的形式以及φ的定义决定。
--  作者：lionx
--  发布时间：12/7/2007 12:47:00 PM

--  
同意Logician的观点。我的理解是

同态是保持代数系统部分或全部性质的映射，代数系统越特殊，对同态要求就越严格。

如果把e，0这样的特异元素看作是集合S的元素而非运算的话，同态就无需保证把e,0映到e',0'，甚至同态像的母代数可以没有e',0'。

但如果把e,0看作是运算的话，就必须要保证同态能够保持运算性质。否则同态没有什么存在的意义和研究价值。这也是同态定义决定的。

--  作者：EagleSoaring
--  发布时间：12/7/2007 3:03:00 PM

--  
谢谢各位，我再想想看。
--  作者：Logician
--  发布时间：12/7/2007 10:03:00 PM

--  
请注意：例15.23并没有把单位元声明成零元运算。
如果声明成零元运算，V应该写成<A,·, (1 0\\ 0 1)>。
我们可以把n元运算f(x_1,x_2,...,x_n)看作n+1元运算g(x_1,x_2,...,x_n,x_{n+1})的一种特例。即，认为如果g的取值只取决于前n个参数，与第n+1个参数无关，就认为g实际上等价于一个n元运算。
这样，我们可以把0元运算c看作是特殊的一元运算f(x)，其中对所有x属于A，都有f(x)=c（这和我们在传统数学中，把“常数”看作一类特殊的“一元函数”是一个道理）。
这样去理解0元运算的话，就会发现，如果φ是从 V1 = <S, *, e1> 到 V2 = <T, ·, e2> 的同态，那么根据同态的定义（这里继续把0元运算看作特殊的一元运算），对任何x属于S，有φ(e1) = φ(f(x)) = g(φ(x)) = e2，（这里f和g分别是e1和e2对应的一元常函数）。

以下是引用EagleSoaring在2007-12-7 3:44:00的发言：
[quote]以下是引用Logician在2007-12-7 2:06:00的发言：
如果已经把单位元“声明”成“零元运算”了，自然就不行了
  因为如果 V1 = <S, *, e1>, V2 = <T, ·, e2>
  那么同态φ应该把运算e1映射到e2上
  即，φ(e1) = e2

  如果没有把单位元声明零元运算，那么是比较容易找到许多使φ(e1)不等于e2的例子的。
[/quote]
-----------------------------------------------------------------------------------------

即使已经把单位元“声明”成“零元运算”，φ不是满同态时φ(e1)不一定等于e2
p232例15.23就是个反例。

我现在觉得，e1是否映射到e2完全由φ的定义决定。




--  作者：zshao
--  发布时间：12/7/2007 11:12:00 PM

--  
Logician可不可以这么理解么

正是因为 群，环，布尔代数，都可以把单位元，定义成 “零元运算”
所以，在同态中，必须φ(e1)=e2?

--  作者：Logician
--  发布时间：12/8/2007 12:26:00 AM

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应该说，我们可以证明群，环，布尔代数的任何非零同态都能保持单位元，所以我们可以把它们的单位元定义成 “零元运算”（而不会因此影响相应系统的性质）。
--  作者：EagleSoaring
--  发布时间：12/9/2007 8:22:00 PM

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